Cho các số thực không âm x y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu t

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có giả thiết x² + y² + (3x -2)(y-1) = 0 (x+y)² – 3(x+y) + 2 = -xy – y

Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)² – 3(x+y) + 2 ≤ 0 1<x+y ≤2

Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]

Ta có P = x² + y² + x +y + 8 ≤ (x+y)² + (x+y) + 8 = t² + t + 8

Xét hàm số f(t) = t² + t + 8 với t ∊ [1;2]

Ta có f’(t) = 2t +1 - , với mọi t ∊ [1;2]

Chú ý rằng f’(t) > 3 - > 0 với mọi t ∊ (1;2)

Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2

Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi . x=2, y=0

Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.