Cho hàm số y = x^3 - 3( m + 3 )x^2 + 3 có đồ thị là ( C ). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho qua

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

TXĐ: (D = R), ta có (y' = 3{x^2} - 6left( {m + 3} right)x).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ (x = {x_0}) là:

(y = left( {3x_0^2 - 6left( {m + 3} right){x_0}} right)left( {x - {x_0}} right) + x_0^3 - 3left( {m + 3} right)x_0^2 + 3,,left( d right)).

Có một tiếp tuyến là ({Delta _1}:,,y =  - 1)

( Rightarrow left{ begin{array}{l}3x_0^2 - 6left( {m + 3} right){x_0} = 0x_0^3 - 3left( {m + 3} right)x_0^2 + 3 =  - 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}{x_0} = 0{x_0} = 2left( {m + 3} right)end{array} right.x_0^3 - 3left( {m + 3} right)x_0^2 + 3 =  - 1end{array} right.)

TH1: ({x_0} = 0 Rightarrow 3 =  - 1) (vô nghiệm).

TH2: ({x_0} = 2left( {m + 3} right) Rightarrow 8{left( {m + 3} right)^3} - 3left( {m + 3} right).4{left( {m + 3} right)^2} + 4 = 0)

( Leftrightarrow  - 4{left( {m + 3} right)^3} + 4 = 0 Leftrightarrow {left( {m + 3} right)^3} = 1 Leftrightarrow m + 3 = 1 Leftrightarrow m =  - 2).

Thử lại khi (m =  - 2), phương trình đường thẳng (d) trở thành (y = left( {3x_0^2 - 6{x_0}} right)left( {x - {x_0}} right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 3,,left( d right))

(begin{array}{l}Aleft( { - 1; - 1} right) in left( d right) Rightarrow  - 1 = left( {3x_0^2 - 6{x_0}} right)left( { - 1 - {x_0}} right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 3 Leftrightarrow  - 1 =  - 3x_0^2 + 6{x_0} - 3x_0^3 + 6x_0^2 + x_0^3 - 3x_0^2 + 3 Leftrightarrow 2x_0^3 - 6{x_0} - 4 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x_0} = 2{x_0} =  - 1end{array} right.end{array})

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, do đó từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số khi (m =  - 2) (tm).

Vậy (m =  - 2).

Chọn A.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.