Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA vuông góc với đáy mặt bên ( SCD ) hợp với đáy một
Câu hỏi và phương pháp giải
Nhận biếtCho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông, (SA) vuông góc với đáy, mặt bên (left( {SCD} right)) hợp với đáy một góc bằng (60^circ ), (M) là trung điểm của (BC). Biết thể tích khối chóp (S.ABCD) bằng (dfrac{{{a^3}sqrt 3 }}{3}). Khoảng cách từ (M) đến mặt phẳng (left( {SCD} right)) bằng:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 247
Giải chi tiết:
Ta có: (SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow SA bot CD)
Lại có: (CD bot AB;left( {gt} right) Rightarrow CD bot left( {SAB} right) Rightarrow CD bot SD Rightarrow Delta SDC) vuông tại (D.)
Có (left( {ABCD} right) cap left( {SCD} right) = CD.)
Mà:(left{ begin{array}{l}CD bot SD;;left( {cmt} right)CD bot AD;;left( {gt} right)end{array} right. Rightarrow left( {left( {ABCD} right),;left( {SCD} right)} right) = left( {SD,;AD} right) = angle SDA = {60^0})
Xét (Delta SAD) vuông tại (A) ta có: (SA = AD.tan {60^0} = ADsqrt 3 .)
(begin{array}{l}{V_{SABCD}} = dfrac{{{a^3}sqrt 3 }}{3} Leftrightarrow dfrac{1}{3}A{D^2}.ADsqrt 3 = dfrac{{{a^3}sqrt 3 }}{3} Leftrightarrow AD = a. Rightarrow {V_{SACD}} = dfrac{1}{2}{V_{SACD}} = dfrac{1}{2}.dfrac{{{a^3}sqrt 3 }}{3} = dfrac{{{a^3}sqrt 3 }}{6} = dfrac{1}{3}dleft( {A;;left( {SCD} right)} right).{S_{SCD}}. Rightarrow dleft( {A;;left( {SCD} right)} right) = dfrac{{3{V_{SACD}}}}{{{S_{SCD}}}}.end{array})
Ta có: (SD = sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = sqrt {3{a^2} + {a^2}} = 2a.)
(begin{array}{l} Rightarrow {S_{SCD}} = dfrac{1}{2}SD.CD = dfrac{1}{2}.2a.a = {a^2}. Rightarrow dleft( {A;;left( {SCD} right)} right) = dfrac{{3{V_{SACD}}}}{{{S_{SCD}}}} = dfrac{{3.dfrac{{{a^3}sqrt 3 }}{6}}}{{{a^2}}} = dfrac{{asqrt 3 }}{2}.end{array})
Vì (AB//CD Rightarrow AB//left( {SCD} right) Rightarrow dleft( {A;;left( {SCD} right)} right) = dleft( {B;;left( {SCD} right)} right))
Lại có: (dfrac{{MC}}{{BC}} = dfrac{1}{2}left( {gt} right) Rightarrow dfrac{{dleft( {M;;left( {SCD} right)} right)}}{{dleft( {B;;left( {SCD} right)} right)}} = dfrac{1}{2})
( Rightarrow dleft( {M;;left( {SCD} right)} right) = dfrac{1}{2}dleft( {B;;left( {SCD} right)} right) = dfrac{1}{2}dleft( {A;;left( {SCD} right)} right) = dfrac{1}{2}.dfrac{{asqrt 3 }}{2} = dfrac{{asqrt 3 }}{4}.)
Chọn C.
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.