Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có: 12<

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Từ (1 + x)ⁿ = + x + ... + xⁿ. Lấy đạo hàm cấp 1 và cấp 2 ta có:

n(1 + x)ⁿ = 1. + 2.x + ... + n.x^n-1 (1)

n(n - 1)(1 + x)^n-2 = 2.1. + 3.2.x + ... + n(n - 1)x^n-2 (2)

Trong (1) và (2) lần lượt cho x = 1 ta được:

n2^n-1 = 1. + 2. + ... + n. (3)

n(n - 1)2^n-2 = 2.1. + 3.2. + ... + n(n - 1). (4)

Ta có k² = [k(k - 1) + k] = k(k - 1) + k.

= n(n - 1).2^n-2 + n.2^n-1 (từ (3) và (4))

= n(n + 1).2^n-2

Vậy 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1).2^n-2

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.