Giải hệ phương trình l2log 1 - x( - xy + y - 2x + 2 ) + log 2 + y( x - 1 )^2 = 6log 1 - x( y + 5 )

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Đặt (left{ begin{array}{l}2{log _{1- x}}left( { - xy + y - 2x + 2} right) + {log _{2 + y}}{left( {x - 1} right)^2} = 6,,,left( 1 right)\{log _{1 - x}}left( {y + 5} right) - {log _{2 + y}}left( {x + 4} right) = 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 right)end{array} right.)

Điều kiện (left{ begin{array}{l}0 < 1 - x ne 1\0 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}- 4 < x < 1,,,x ne 0\- 2 < y ne - 1end{array} right.)

(begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
2{log _{1 - x}}left( { - xy + y - 2x + 2} right) + {log _{2 + y}}{left( {x - 1} right)^2} = 6,,,left( 1 right)\
{log _{1 - x}}left( {y + 5} right) - {log _{2 + y}}left( {x + 4} right) = 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 right)
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
0 < 1 - x ne 1 Leftrightarrow 0 ne x < 1\
0 < 2 + y ne 1 Leftrightarrow - 2 < y ne - 1
end{array} right.\
left( 1 right) Leftrightarrow 2{log _{1 - x}}left[ {left( {y + 2} right)left( {1 - x} right)} right] + 2{log _{2 + y}}left( {1 - x} right) = 6\
Leftrightarrow 2{log _{1 - x}}left( {y + 2} right) + 2 + 2{log _{2 + y}}left( {1 - x} right) = 6\
Leftrightarrow {log _{1 - x}}left( {y + 2} right) + frac{1}{{{{log }_{1 - x}}left( {y + 2} right)}} = 2\
Leftrightarrow log _{_{1 - x}}^2left( {y + 2} right) - 2{log _{1 - x}}left( {y + 2} right) + 1 = 0\
Leftrightarrow {log _{1 - x}}left( {y + 2} right) = 1 Leftrightarrow 1 - x = y + 2
end{array})

Thế vào (2) ta được 

(begin{array}{l}
{log _{1 - x}}left( {4 - x} right) - {log _{1 - x}}left( {x + 4} right) = 1\
Leftrightarrow {log _{1 - x}}frac{{4 - x}}{{x + 4}} = 1\
Leftrightarrow 1 - x = frac{{4 - x}}{{x + 4}}\
Leftrightarrow x + 4 - {x^2} - 4x = 4 - x\
Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0,,,left( {tm} right) Rightarrow y = - 1,,left( {ktm} right)\
x = - 2,,left( {tm} right) Rightarrow y = 1,,left( {tm} right)
end{array} right.
end{array})

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (left( {x;y} right) = left( { - 2;1} right)).

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.