Gọi K  là tập nghiệm của bất phương trình 7^2x + căn x + 1 - 7^2 + căn x + 1 + 2018x le 2018.

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

(begin{array}{l}{7^{2x + sqrt {x + 1} }} - {7^{2 + sqrt {x + 1} }} + 2018x le 2018 Leftrightarrow {7^{2x + sqrt {x + 1} }} + 2018x + 1009sqrt {x + 1}  le {7^{2 + sqrt {x + 1} }} + 2018 + 1009sqrt {x + 1} end{array})

Xét hàm số (fleft( t right) = {7^t} + 1009t) ta có (f'left( t right) = {7^t}ln 7 + 1009 > 0,,forall t in R Rightarrow ) Hàm số đồng biến trên R.

( Rightarrow left( * right) Leftrightarrow 2x + sqrt {x + 1}  le 2 + sqrt {x + 1}  Leftrightarrow x le 1 Rightarrow K = left( { - infty ;1} right]).

Bài toán trở thành tìm m để hàm số (y = 2{x^3} - 3left( {m + 2} right){x^2} + 6left( {2m + 3} right)x - 3m + 5) đồng biến trên (left( { - infty ;1} right]).

Ta có (y' = 6{x^2} - 6left( {m + 2} right)x + 6left( {2m + 3} right) = 0 Leftrightarrow {x^2} - left( {m + 2} right)x + left( {2m + 3} right) = 0).

(Delta  = {left( {m + 2} right)^2} - 4left( {2m + 3} right) = {m^2} - 4m - 8).

TH1: (Delta  le 0 Leftrightarrow 2 - 2sqrt 3  le m le 2 + 2sqrt 3 ). Hàm số đã đồng biến trên R, thỏa mãn đồng biến trên (left( { - infty ;1} right]).

TH2: (Delta  > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m > 2 + 2sqrt 3 m < 2 - 2sqrt 3 end{array} right.), khi đó hàm số có 2 điểm cực trị ({x_1} < {x_2}). Ta có bảng xét dấu y’:

Để hàm số đồng biến trên (left( { - infty ;1} right] Rightarrow 1 le {x_1} < {x_2}).

Khi đó ta có (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 2left( {{x_1} - 1} right)left( {{x_2} - 1} right) ge 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 2{x_1}{x_2} - left( {{x_1} + {x_2}} right) + 1 ge 0end{array} right.)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2{x_1}{x_2} = 2m + 3end{array} right.)

( Rightarrow left{ begin{array}{l}m + 2 > 22m + 3 - m - 2 + 1 ge 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m > 0m + 2 ge 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m > 0m ge  - 2end{array} right. Leftrightarrow m > 0).

( Rightarrow m > 2 + 2sqrt 3 ).

Kết hợp 2 trường hợp ta có (2 - 2sqrt 3  le m Rightarrow m in left[ {2 - sqrt {12} ; + infty } right) Rightarrow left{ begin{array}{l}a = 2b = 12end{array} right. Rightarrow S = a + b = 14).

Chọn A.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.