Nếu biết 3sin ^4x + 2cos ^4x = d9881 thì giá trị của biểu thức A = 2sin ^4x + 3cos ^4x bằng:

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có

(begin{array}{l},,,,,,3{sin ^4}x + 2{cos ^4}x = dfrac{{98}}{{81}}\ Leftrightarrow 2{sin ^4}x + 3{cos ^4}x + {sin ^4}x - {cos ^4}x = dfrac{{98}}{{81}}\ Leftrightarrow A = dfrac{{98}}{{81}} - left( {{{sin }^4}x - {{cos }^4}x} right)end{array})

Ta có: ({sin ^4}x - {cos ^4}x = left( {{{sin }^2}x - {{cos }^2}x} right)left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right) =  - cos 2x) 

( Rightarrow A = dfrac{{98}}{{81}} + cos 2x Rightarrow cos 2x = A - dfrac{{98}}{{81}})   (1)

Ta lại có: (3{sin ^4}x + 2{cos ^4}x + 2{sin ^4}x + 3{cos ^4}x = 5left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x} right) = A + dfrac{{98}}{{81}}).

Mà ({sin ^4}x + {cos ^4}x = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^2} - 2{sin ^2}x{cos ^2}x)

( = 1 - dfrac{1}{2}{sin ^2}2x = 1 - dfrac{1}{2}left( {1 - {{cos }^2}2x} right) = dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2}{cos ^2}2x)

( Rightarrow 5left( {dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2}{{cos }^2}2x} right) = dfrac{{98}}{{81}} + A)   (2)

Thay (1) vào (2) ta có :

(begin{array}{l} Rightarrow 5left[ {dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2}{{left( {A - dfrac{{98}}{{81}}} right)}^2}} right] = dfrac{{98}}{{81}} + A\ Leftrightarrow dfrac{5}{2}left( {1 + {{left( {A - dfrac{{98}}{{81}}} right)}^2}} right) = A - dfrac{{98}}{{81}} + dfrac{{196}}{{81}}end{array})

Đặt (t = A - dfrac{{98}}{{81}}) ta có (dfrac{5}{2}left( {1 + {t^2}} right) = t + dfrac{{196}}{{81}} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = dfrac{{13}}{{45}}\t = dfrac{1}{9}end{array} right.)

Với (t = dfrac{{13}}{{45}} Rightarrow A = dfrac{{13}}{{45}} + dfrac{{98}}{{81}} = dfrac{{607}}{{405}})

Với (t = dfrac{1}{9} Rightarrow A = dfrac{1}{9} + dfrac{{98}}{{81}} = dfrac{{107}}{{81}}).

Chọn D

( * ) Xem thêm: Ôn tập toán 10 cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.