Tính tổng tất cả các giá tri của m biết đồ thị hàm số y = x^3 + 2mx^2 + ( m + 3 )x + 4 và đường thẳn
Câu hỏi và phương pháp giải
Nhận biếtTính tổng tất cả các giá tri của m biết đồ thị hàm số (y = {x^3} + 2m{x^2} + left( {m + 3} right)x + 4) và đường thẳng (y = x + 4) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt (Aleft( {0;4} right)), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng (8sqrt 2 ) với (Ileft( {1;3} right)).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 247
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
(begin{array}{l},,,,,,{x^3} + 2m{x^2} + left( {m + 3} right)x + 4 = x + 4 Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + left( {m + 2} right)x = 0 Leftrightarrow xleft( {{x^2} + 2mx + m + 2} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow y = 4 Rightarrow Aleft( {0;4} right){x^2} + 2mx + m + 2 = 0,,left( 1 right)end{array} right.end{array})
Để (y = {x^3} + 2m{x^2} + left( {m + 3} right)x + 4) và đường thẳng (y = x + 4) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ( Rightarrow left{ begin{array}{l}Delta ' = {m^2} - m - 2 > 0m + 2 ne 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}m > 2m < - 1end{array} right.m ne - 2end{array} right.).
Khi đó ({x_B};{x_C}) là 2 nghiệm của phương trình (1), áp dụng định lí Vi-ét ta có (left{ begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = - 2m{x_B}{x_C} = m + 2end{array} right.).
Ta có ({S_{Delta IBC}} = dfrac{1}{2}dleft( {I;BC} right).BC = dfrac{1}{2}dleft( {I;d} right).BC Rightarrow BC = dfrac{{2{S_{Delta IBC}}}}{{dleft( {I;d} right)}}).
Mà (dleft( {I;d} right) = dfrac{{left| {1 - 3 + 4} right|}}{{sqrt 2 }} = sqrt 2 Rightarrow BC = dfrac{{2.8sqrt 2 }}{{sqrt 2 }} = 16).
Ta có
(begin{array}{l}B{C^2} = {left( {{x_B} - {x_C}} right)^2} + {left( {{y_B} - {y_C}} right)^2} = {left( {{x_B} - {x_C}} right)^2} + {left( {{x_B} + 4 - {x_C} - 4} right)^2} = 2{left( {{x_B} - {x_C}} right)^2} Leftrightarrow {left( {{x_B} - {x_C}} right)^2} = 128 Rightarrow {left( {{x_B} + {x_C}} right)^2} - 4{x_B}{x_C} = 128 Leftrightarrow 4{m^2} - 4left( {m + 2} right) = 128 Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 32 Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0end{array})
Phương trình bậc hai ẩn m có 2 nghiệm phân biệt ({m_1},,,{m_2}) và ({m_1} + {m_2} = 1).
Chọn C.
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.