Cho các số thực dương x y z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 4 và xy +yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Từ giả thiết ta có

Suy ra (4-x)² ≥ 4[5 - x(4 - x)] ⇔ 3x² - 8x + 4 ≤ 0⇔ ≤ x ≤ 2.

Mặt khác (x³ +y³ +z³) = (x+y+z).(x² +y² +z²-xy-yz-zx) + 3xy

= 4((x+y+z)² - 3(xy+yz+zx) + 3xyz = 4 + 3xyz

Suy ra P = (4 + 3xyz). = + 15 = +15

Xét hàm f(x) = x³ - 4x² + 5x trên ta có

f'(x) = 3x² - 8x + 5, f'(x) = 0 ⇔ x = 1, x =

và f(1) = f(2) = 2, f() = , f() =

Suy ra 0 < f(x) ≤ 2 với mọi x ∈ . Do đó P ≥ 25

Dấu đẳng thức xáy ra khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25, đạt được khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.