Cho các số thực dương xyz thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Sử dụng bất đẳng thức (a+b)² ≤ 2(a² +b²) ta có

P ≥ ( + + ) = ( + + )

= ( + + )

Vì x, y, z dương và x² + y² + z² = 3 nên x ∈ (0;√3)

Xét hàm f(x) = x(3-x²) trên (0;√3).

Ta có f'(x) = -3x²+3; f'(x)=0 ⇔ x=1 và f'(x)>0 ⇔ x∈(0;1)

Suy ra f(x) ≤ f(1) = 2 với mọi x∈(0;√3). Do đó ≥ .

Tương tự ta cũng ≥ và ≥

Từ đó suy ra P ≥ =

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là , đạt khi x = y = z = 1.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.