Cho các số thực x y z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có: 0 = (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2x(y + z) + 2yz = 1 – 2x² + 2yz

=> yz = x² –

Mặt khác theo Côsi:

yz ≤ = => x² - ≤

=> - ≤ x ≤

Khi đó P = x⁵ + (y² + z²)(y³ + z³) - y²z²(y + z)… = …(2x³ – x)

Xét hàm số f(x) = (2x³ – x) trên [ - ; ]

f’(x) = 6x² – 1, f’(x) = 0 x = ±

Ta có f(- ) = f() = -, f() = f() =

Do đó f(x) ≤

Suy ra minP = x = , y = z = -

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.