Cho hai đường thẳng y = a1x + b1 (d1) và y = a2x + b2 (d2) vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Chứng

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Cho hai đường thẳng:

y = a₁x + b₁ (d₁)

y = a₂x + b₂ (d₂)

Ta phải chứng minh (d₁) ⊥ (d₂) => a₁.a₂ = -1

Qua O vẽ hai đường thẳng :

(d'₁) : y = a₁x

(d'₂) : y = a₂x

Hiển nhiên (d₁) // (d'₁) , (d₂) // (d'₂).

+) Trước tiên ta chứng minh (d₁) ⊥ (d₂) => a₁.a₂ = -1.

Giả sử a₁ > 0 (không làm mất tính tổng quát của bài toán) suy ra a₂ < 0

(vì (d'₁) ⊥ (d'₂)).

Đường thẳng (d'₁) đi qua điểm A(1; a_{1 )}

Đường thẳng (d'₂) đi qua điểm B (1; a₂)

Hiển nhiên AB // Oy nên AB ⊥ Ox tại I có OI = 1. Vì (d'₁) ⊥ (d'₂)

=> góc AOB là góc vuông. Trong tam giác vuông AOB , OI là đường cao thuộc cạnh huyền , vậy ta có:

IA.IB = OI² = 1 => a₁.|a₂| = 1

Vì a₂ < 0 nên - a₁.a₂ = 1 hay a₁.a₂ = -1

+) Ngược lại, với a₁.a₂ = -1 ta phải chứng minh (d'₁) ⊥ (d'₂)

Thật vậy, nếu a₁.a₂ = -1 => a₁.|a₂| = 1.

=> IA.IB = OI²

=> => ∆ IAO ∆IOB

=> mà =>

=> Góc AOB là góc vuông hay (d'₁) ⊥ (d'₂)

Ghi chú: Sau này khi lên học lớp trên ta sẽ chứng minh được công thức sau. Gọi là góc tạo bởi hai đường thẳng và thì

khi thì