Cho hàm số y = x3 – 3mx + 2 (Cm)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 (HS tự làm )
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trj và đường thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số (Cm) cắt đường tròn (x -1)2 + (y -2)2 = 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB =
Giải chi tiết:
1.Khi m=1 ta có hàm só y = x3 -3x + 2
-TXĐ: D = R
Sự biến thiên
Chiều biến thiên
Đạo hàm: y’ = 3x2 -3, y’ = 0 ⇔ x = 1 => y = 0 hoặc x = -1 => y = 4
Giới hạn : y= -∞; y = +∞
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1)và (1; +∞ )
Hàm số nghịch biến trên (-1; 1)
Hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0
-Đồ thị
2. Ta có y’= 3x2 – 3m
Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ m > 0
Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu
∆: 2mx +y -2 = 0
Điều kiện để đường thẳng ∆ cắt đường tròn tạ hai điểm phân biệt là:
d(I, ∆) < R ⇔ < 1 ⇔ |2| < ⇔0 < 1, ∀m
Gọi H là hình chiếu của I trên AB.
Ta có IH = =
Theo bài ra d(I, ∆) =
⇔ =
⇔ m2 = 6 ⇔ m = √6 hoặc m = -√6 (loại)
Vây m = √6 là giá trị cần tìm
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.