Cho hàm số : y= x3 - 3x - 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. (HS tự làm) 2

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x³ - 3x - 1

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y' = 3x² - 3

Cho y' = 0 3x² - 3 = 0 x = 1, x = -1

Giới hạn :

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1); (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (-1; 1)

Hàm số đạt cực đại y_CĐ = 1 tại x_CĐ = -1, đạt cực tiểu y_CT = -3 tại x_CT = 1

Bảng biến thiên:

Điểm uốn: I(0; -1) vì : y" = 6x = 0 x = 0 => y = -1.

Giao điểm với trục hoành: không có nghiệm nguyên.

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số :

Nhận xét: đồ thị nhận điểm (0; -1) làm tâm đối xứng.

2.Nhận xét :

Nếu đường thẳng d qua A không có hệ số góc tức x = 2 cắt ( C ) nhiều nhất 1 điểm không thỏa mãn yêu cầu bài toán .Do đó d phải có hệ số góc.

Vì x_A = 2 nên y_A = 1 suy ra phương trình d có dạng y = k(x - 2) + 1

Phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là:

x³ - (3 + k)x + 2k - 2 = 0 (x - 2)(x² + 2x - k + 1) = 0

Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N

(*) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ ≠2 ;MN = 2√2

Theo Viet ta có x₁ + x₂ = -2; x₁x₂ = 1 - k

Ta có:

8 = MN² = (x₂ - x₁)² + (x₂ - x₁)²k²

= (k² + 1)(x₂ - x₁)² = (k² + 1)[(x₂ + x₁)² - 4x₁x₂]

Hay 8 = (k² + 1)(4 - 4(1 - k)) k³ + k - 2 = 0

k = 1 (thỏa mãn yêu cầu bài toán)

Vậy d có phương trình là: y = x - 1

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.