Cho hàm số y = x^3 + 3x^2 + 1 có đồ thị (C) và điểm A( 1;m ). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị ng

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

TXĐ: D = R. Ta có (y' = 3{x^2} + 6x).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y = {x^3} + 3{x^2} + 1) tại điểm có hoành độ (x = {x_0}) là (y = left( {3x_0^2 + 6{x_0}} right)left( {x - {x_0}} right) + x_0^3 + 3x_0^2 + 1,,,left( d right)).

Ta có (Aleft( {1;m} right) in d) nên (m = left( {3x_0^2 + 6{x_0}} right)left( {1 - {x_0}} right) + x_0^3 + 3x_0^2 + 1)

( Leftrightarrow m = 3x_0^2 + 6{x_0} - 3x_0^3 - 6x_0^2 + x_0^3 + 3x_0^2 + 1 Leftrightarrow m =  - 2x_0^3 + 6{x_0} + 1)  (*)

Để từ A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì phương trình (*) cần có 3 nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số (fleft( x right) =  - 2{x^3} + 6x + 1) và đường thẳng (y = m) song song với trục Oy.

Xét hàm số (fleft( x right) =  - 2{x^3} + 6x + 1) ta có : (f'left( x right) =  - 6{x^2} + 6 = 0 Leftrightarrow x =  pm 1).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta có (*) có 3 nghiệm phân biệt (Leftrightarrow  - 5 < m < 3 Rightarrow S = left{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2} right}). Vậy S có 7 phần tử.

Chọn B.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.