Cho hàm số y = x^4 - 2( 1 - m^2 )x^2 + m + 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

TXĐ : (D = mathbb{R}). Ta có (y' = 4{x^3} - 4left( {1 - {m^2}} right)x = 0 Leftrightarrow 4xleft( {{x^2} + {m^2} - 1} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0{x^2} = 1 - {m^2}end{array} right.)

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu (tức là có 3 cực trị phân biệt) thì phương trình (y' = 0) có 3 nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow 1 - {m^2} > 0 Leftrightarrow  - 1 < m < 1).

Khi đó (y' = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow y = m + 1 Rightarrow Aleft( {0;m + 1} right) in Oyx = sqrt {1 - {m^2}}  Rightarrow y =  - {m^4} + 2{m^2} + m Rightarrow Bleft( {sqrt {1 - {m^2}} ; - {m^4} + 2{m^2} + m} right)x =  - sqrt {1 - {m^2}}  Rightarrow y =  - {m^4} + 2{m^2} + m Rightarrow Cleft( { - sqrt {1 - {m^2}} ; - {m^4} + 2{m^2} + m} right)end{array} right.).

Do (A in Oy,,,B,C) đối xứng nhau qua Ox, do đó tam giác (ABC) cân tại A.

Gọi (H) là trung điểm của (BC Rightarrow Hleft( {0; - {m^4} + 2{m^2} + m} right)).

Ta có:

(begin{array}{l}left. begin{array}{l}AH = left| { - {m^4} + 2{m^2} + m - m - 1} right| = left| { - {m^4} + 2{m^2} - 1} right| = {left( {1 - {m^2}} right)^2}BC = 2sqrt {1 - {m^2}} end{array} right} Rightarrow {S_{ABC}} = frac{1}{2}AH.BC = frac{1}{2}{left( {1 - {m^2}} right)^2}.2sqrt {1 - {m^2}}  = {sqrt {1 - {m^2}} ^5}end{array})

Ta có ({m^2} ge 0 Leftrightarrow 1 - {m^2} le 1 Leftrightarrow {S_{ABC}} le 1). Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow m = 0).

Vậy ({S_{ABC}}) lớn nhất bằng (1) khi và chỉ khi (m = 0).

Chọn B. 

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.