Cho hàm số: y = -x4 + 2(m + 2)x2 – 2m -3 (Cm). (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

1.Học sinh tự giải.

2.Trước hết (C_m) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau khi và chỉ khi phương trình: y = 0 ⇔-x⁴ + 2(m + 2)x² – 2m -3 = 0 có 4 nghiệm phân biệt x₁, x₂, x₃, x₄ lập thành cấp số cộng.

Ta đặt x² = t (t ≥ 0) khi đó phương trình: -x⁴ + 2(m + 2)x² – 2m -3 = 0 (1)

trở thành: - t²+ 2(m + 2)t – 2m -3 = 0 (2)

(1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng thì trước hết: (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ (3)

∆’₍₂₎ = (2 + m)² – (2m + 3) > 0 ⇔ m² + 2m + 1 > 0 ⇔ m ≠ -1

Vậy (3) ⇔ ⇔ m > , m ≠ -1 ( 4)

Gọi hai nghiệm của (2) là t₁, t₂ với 0 < t₁ < t₂ khi đó 4 nghiệm của (1) sẽ là :

Vậy 4 nghiệm của (1) lập thành cấp số cộng

⇔ x₄ – x₃ = x₃ – x₂ = x₂ – x₁ ⇔ √t₂ - √t₁ = √t₁ – (-√t₁) = -√t₁ – (-√t₂)

⇔ √t₂ = 3√t₁ ⇔ t₂ = 9t₁.

Ta tìm điều kiện để phương trình (2) có hai nghiệm t₁, t₂ phân biệt sao cho: t₂ = 9t₁; 0 < t₁ < t₂.

Ta xét hệ :

⇔ ⇔

(5) ⇔ 9(m=2)² = 25(2m + 3) ⇔ 9m² – 14m – 39 = 0 ⇔ m = -, m = 3.

Cả hai giá trị trên của m đều thỏa mãn điều kiện (4).

Đáp số : m = - , m = 3.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.