Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân ( AB//CD ). Biết AD = 2 căn 5 ;AC = 4 căn 5 ;AC

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

+ Gọi (E;F) lần lượt là trung điểm của (CD;AB).

Vì (ABCD) là hình thang nên (AB//CD;,EF bot AB;EF bot CD) suy ra

(CD//left( {SAB} right) Rightarrow dleft( {CD;SA} right) = dleft( {CD;left( {SAB} right)} right) = dleft( {E;left( {SAB} right)} right))

Vì (ABCD) là hình thang cân có (AD bot AC Rightarrow BC bot BD)

Xét các tam giác vuông (ACD;BCD) có (E) là trung điểm cạnh huyền nên (EA = EB = EC = ED Rightarrow E) là tâm đường tròn ngoại tiếp (ABCD.)

Lại có (SA = SB = SC = SDleft( {gt} right) Rightarrow SE bot left( {ABCD} right)) tại (E)  suy ra (SE bot AB)

Ta có (left{ begin{array}{l}AB bot SEAB bot EFend{array} right. Rightarrow AB bot left( {SEF} right)) . Trong (left( {SEF} right)) kẻ (EH bot SF) tại (H) .

Ta có (left{ begin{array}{l}EH bot ABleft( {do,AB bot left( {SEF} right)} right)EH bot SFend{array} right.)( Rightarrow EH bot left( {SAB} right)) tại (H Rightarrow dleft( {SA;CD} right) = dleft( {E;left( {SAB} right)} right) = EH)

+ Xét tam giác vuông (ADC) ta có (DC = sqrt {A{D^2} + A{C^2}}  = 10)

+ Vì (EF bot CD)  nên ({S_{ADC}} = dfrac{1}{2}EF.DC = dfrac{1}{2}AD.AC = dfrac{1}{2}2sqrt 5 .4sqrt 5  = 20 Rightarrow EF = 4)

+ Xét tam giác vuông (SEC) (do (SE bot left( {ABCD} right)) ) có (SE = sqrt {S{C^2} - E{C^2}}  = sqrt {{7^2} - {{left( {dfrac{{DC}}{2}} right)}^2}}  = 2sqrt 6 )

+ Xét tam giác vuông (SEF) có (EH) là đương cao nên (dfrac{1}{{E{H^2}}} = dfrac{1}{{S{E^2}}} + dfrac{1}{{E{F^2}}} = dfrac{1}{{{{left( {2sqrt 6 } right)}^2}}} + dfrac{1}{{{4^2}}} = dfrac{5}{{48}} Rightarrow EH = dfrac{{4sqrt {15} }}{5}.)

Vậy (dleft( {SA;CD} right) = dfrac{{4sqrt {15} }}{5}) .

Chọn A.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.