Cho hình thang cân ABCD (AB // CD AB < CD). M và N là trung điểm của hai đường chéo BD và AC a. Chứ

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

a.

Gọi P là trung điểm của AD.

Theo giả thiết thì N là trung điểm của AC.

Vậy PN là đường trung bình của ∆ADC

=> PN // DC // AB (1).

Tương tự ta có PM là đường trung bình của ∆ABD => PM // AB (2).

Từ (1) và (2) suy ra P, M, N thẳng hàng, MN // AB và CD

Tứ giác ABCD là hình thang cân (gt)

=> AC = BD => = => AN = BM.

Xét tứ giác AMNB có MN // AB và AN = BM.

Vậy tứ giác AMNB là hình thang cân.

Xét ∆ADC và ∆BCD có:

CD chung, AC = BD, AD = BC

=> ∆ADC = ∆BCD (c.c.c) => = .

MNCD có MN // CD và = thì tứ giác MNCD là hình thang cân.

b.

* Kẻ MH ⊥ AB, NK ⊥ AB

Xét ∆HAM và ∆KBN có = = 90⁰, = , MA = NB (tính chất hình thang cân)

Vậy ∆HAM = ∆KBN => AH = KB

=> HB - HA = HB - KB = HK = MN (MNHK là hình chữ nhật)

* Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông HAM và HBM có:

BM² = BH² + HM² = BH² + AM² – AH² = AM² + (BH² – AH²)

= AM² + (BH – AH)(BH + AH) = AM² + MN.AB