Cho khai triển ( 1 - 2x )^n = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n biết S = | a1 | + 2| a2 | + ... + n| an

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có: ({left( {1 - 2x} right)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{{left( { - 2x} right)}^k}}  = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{{left( { - 2} right)}^k}{x^k}} )

( Rightarrow {a_k} = C_n^k.{left( { - 2} right)^k} Rightarrow left| {{a_k}} right| = C_n^k{.2^k},,forall k = overline {0;n} ).

Khi đó ta có:

(S = left| {{a_1}} right| + 2left| {{a_2}} right| + ... + nleft| {{a_n}} right| = C_n^1{.2^1} + 2.C_n^2{.2^2} + .... + n.C_n^n{.2^n})

Xét khai triển

(begin{array}{l}{left( {1 + x} right)^n} = sumlimits_{i = 0}^n {C_n^i.{x^i}}  = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n} Rightarrow n{left( {1 + x} right)^{n - 1}} = C_n^1 + 2C_n^2x + ... + nC_n^n{x^{n - 1}}end{array})

Thay (x = 2) ta có (n{.3^{n - 1}} = C_n^1 + 2C_n^2.2 + ... + nC_n^n{.2^{n - 1}} Rightarrow 2.n{.3^{n - 1}} = 2C_n^1 + 2C_n^2{.2^2} + ... + nC_n^n{.2^n})

( Rightarrow S = 2n{.3^{n - 1}} = 34992 Leftrightarrow n{.3^{n - 1}} = 17496 Leftrightarrow n = 8).

Thay (n = 8) vào P ta có

(begin{array}{l}P = {a_0} + 3{a_1} + 9{a_2} + ... + {3^8}{a_8}P = C_8^0 + 3.C_8^1.{left( { - 2} right)^1} + {3^2}.C_8^2.{left( { - 2} right)^2} + ... + {3^8}.C_8^8.{left( { - 2} right)^8}P = C_8^0 - C_8^1{.6^1} + C_8^2{.6^2} - .... + C_8^8{.6^8}P = {left( {1 - 6} right)^8} = {5^8} = 390625end{array})

Chọn D.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.