Phương trình sin ^2x + căn 3 sin xcos x = 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc [ 0;3pi ].

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

TH1: (cos x = 0 Leftrightarrow x = dfrac{pi }{2} + kpi ,,left( {k in Z} right) Rightarrow {sin ^2}x = 1), khi đó phương trình trở thành (1 = 1) (luôn đúng)

( Rightarrow x = dfrac{pi }{2} + kpi ,,left( {k in Z} right)) là nghiệm của phương trình.

(x in left[ {0;3pi } right] Rightarrow 0 le dfrac{pi }{2} + kpi  le 3pi  Leftrightarrow  - dfrac{1}{2} le k le dfrac{5}{2},left( {k in Z} right) Leftrightarrow k in left{ {0;1;2} right}).

TH2: (cos x ne 0 Leftrightarrow x ne dfrac{pi }{2} + kpi ,,left( {k in Z} right)). Chia cả 2 vế của phương trình cho ({cos ^2}x) ta được:

(dfrac{{{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} + sqrt 3 dfrac{{sin x}}{{cos x}} = dfrac{1}{{{{cos }^2}x}} Leftrightarrow {tan ^2}x + sqrt 3 tan x = 1 + {tan ^2}x Leftrightarrow tan x = dfrac{1}{{sqrt 3 }} Leftrightarrow x = dfrac{pi }{6} + kpi ,,left( {k in Z} right))

(x in left[ {0;3pi } right] Rightarrow 0 le dfrac{pi }{6} + kpi  le 3pi  Leftrightarrow  - dfrac{1}{6} le k le dfrac{{17}}{6},left( {k in Z} right) Leftrightarrow k in left{ {0;1;2} right}).

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.