Tìm tất cả các số nguyên (x. y. z) thỏa mãn: <

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Từ đề bài ta có y > x và xy > 0 hay x, y ≠ 0 và cùng dấu, y > x

Đặt y = x + k, k nguyên dương

Từ (1) ta có:

(x + k)³ =x³ + 2x² + 1 ⇔ (3k – 2)x² + 3k²x + k³ – 1 = 0 (*)

- Với k = 1, (*) trở thành x² + 3x = 0 => x = -3 => y = -2

Thế vào (2) ta được z² = 4 ⇔ z = ±2 => (x; y ; z) = (-3; -2; 2) ; (-3; -2; -2)

- Với k = 2. (*) trở thành 2x² + 12x + 7 = 0 (được nghiệm và số hữu tỉ, loại)

- Với k = 3. (*) trở thành 7x² + 27x + 26 = 0 ⇔

=> y = -1 => z² +2 = 4 (loại)

- Với k ≥ 4, đặt k = 4 + m, (*) có

∆ = 9k⁴ – 4(3k – 2)(k³ – 1)

= -3k⁴ + 8k³ + 12k – 8 < -3k⁴ + 8k³ + 12k

= -k(3k³ - 8k² – 12) = -k[3(4 + m)³ – 8(4 + m)² – 12]

= -k (3m³ + 28m² + 80m + 52) < 0 =< phương trình vô nghiệm

Vậy hệ có 2 nghiệm nguyên (x; y ; z) = (-3; -2; 2) ; (-3; -2; -2)