Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = + + -
Giải chi tiết:
Dễ dàng chứng minh được 3t ≥ 1 + t, ∀t ≥ 0, từ đó áp dụng vào bài toán ta có:
P ≥ 3 + |x - y| + |y - z| + |z - x| -
Mặt khác ta có
(|x - y| + |y - z| + |z - x|)2
= (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 + |x - y|(|y - z| + |z - x|) +
|y – z|(|x – y| +|z – x|) + |z – x|(|x – y| + |y – z|)
Hơn nữa áp dụng BĐT |a| + |b| ≥ |a + b| ta có
(|x - y| + |y - z| + |z - x|)2 ≥ 2[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ] = 6(x2 + y2 + z2)
Suy ra P ≥ 3 => minP = 3 x = y = z = 0
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.