Cho hàm số y = x3+ -3mx2+ 3(m2-1)x -m3+ 5m (1) trong đó m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và
Câu hỏi và phương pháp giải
Nhận biếtCho hàm số y = x3+ -3mx2+ 3(m2-1)x -m3+ 5m (1), trong đó m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số (1) khi m=1.
b) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị A, B, đồng thời trung điểm I của AB chạy trên một đường thẳng cố định.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 247
Giải chi tiết:
a. Khảo sát
+ TXĐ: D=R
+ Sự biến thiên: y’=3x2-6x; y'=0 
x=0 hoặc x=2
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-
; 0) và (2; +); nghịch biến trên (0;2); yCĐ=4, yCT=0
+ Bảng biến thiên:
+ Vẽ đúng đồ thị:
b.
Ta có: y’=3x2-6mx+3(m2-1); y'=0 
Lập bảng biến thiên (hoặc có thể lập luận : vì y'=0 có hai nghiệm phân biệt nên y' đổi dấu hai lần khi x chạy qua các nghiệm ) suy ra hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị.
Giả sử: 
Từ đó suy ra tọa độ điểm I(m;2m) có 
từ đó thay m=x vào y=2m ta đc:
Vậy I luôn chạy trên đường thẳng y=2x
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.