Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4 (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (HS tự làm).

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

1. Khảo sát hàm số y = x³-3x²+4 (C)

+ Tập xác định: D = R

+ Giới hạn: y = - ∞, y = +∞

+ Đạo hàm y' = 3x² - 6x; y' = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0), (2;+∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ= 4

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT= 0

+ Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1;0) và nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng

2. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc k là:

y = k(x - 2)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: k(x - 2) = x³ - 3x² + 4

⇔ (x - 2)(x² - x - 2 - k) = 0 ⇔

Đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P

⇔ Phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2

⇔∆ > 0 và g(2) ≠ 0 ⇔ - < k ≠ 0 (*).

Theo định lí Viet ta có:

Các tiếp tuyến tại M, N vuông góc với nhau ⇔ y'(x_P).y’(x_N) = -1

⇔ (3 - 6x_P)(3 - 6x_N) = -1

⇔ 9k² + 18k + 1 = 0 ⇔ k = (thỏa mãn (*))

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.