Cho hàm số y = x4 - 2x2 - 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. (HS tự làm).

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

1. Khảo sát

Tập xác định : D = R

Sự biến thiên:

Giới hạn : y = + ∞;y = + ∞

Chiều biến thiên: y’ = 4x³ - 4x; y’ = 0

Bảng biến thiên

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng; (-1; 0) và (1; + ∞); nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

+Cực trị: hàm số đạt cực đại tại x=0 => y_CĐ = -3, đạt cực tiểu tại x = ±1

=> y_CT = -4

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

2. Từ đồ thị hàm số ta thấy, để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt thì -4 < m < -3 (*)

Phương trình hoành độ giao điểm: x⁴ - 2x² - 3 - m = 0 (1)

Đặt t = x² ( t ≥ 0) thì phương trình hoành độ trở thành: t² - 2t - 3 - m = 0 (2)

Với điều kiện (*) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t₁; t₂ (t₁ < t₂)

Từ đó tìm được tọa độ các điểm M(-√t₂; 0), N(-√t₁; 0), P(√t₁; 0),

Q(√t₂; 0)

Suy ra MN = √t₂ - √t₁ , NP = 2√t₁ , PQ =√t₂ - √t₁

Vì MN = PQ nên NP là độ dài cạnh huyền. Do đó :

NP² = MN² + PQ²

NP² = MN² + PQ² 4t₁ = 2

(t₁ + t₂)² = 8t₁t₂

Áp dụng định lí vi-et ta có

Vì vậy: 4 = 8(-3 - m) =>m = -

Đáp số m = -

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.