Cho x y z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu hỏi và phương pháp giải
Nhận biếtCho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (x + y + z)2 + 
(
- 
)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 247
Giải chi tiết:
Ta có (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 1 + 2(xy + yz + xz)
x3 + y3 + z3 = 3xyz + (x + y + z)[x2 + y2 + z2 - (xy + yz + xz)]
= 3xyz + (x + y + z)[1 - (xy + yz + xz)]
⇔ 
= 3 + (
+ 
+ 
)[1 - (xy + yz + xz)]
Áp dụng BĐT cô-si ta được: + + ≥ 
Suy ra: ≥ 3 + [1 - (xy + yz + xz)]
Đặt t = xy + yz + xz
Vì xy ≤ 
, yz ≤ 
, xz ≤ 
=> xy + yz + xz ≤ x2 + y2 + z2 = 1
=> 0 < t ≤ 1
Suy ra: A ≥ 1+ 2t + 
[3 + 
(1 - t) - 
] = B
Ta có B = -2 + 2t + 
= -2 + 2t + 
+ ≥ -2 + 2
+
=> B ≥ 2 + ≥ 4
Vậy A ≥ 4 ⇔ Amin = 4. Dấu "=" xảy ra: 
⇔ x = y = z = 
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.