Tìm tất cả các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của tham số m để hàm số y = d13x^3 + ( m - 1 )x^2 + (

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có (y' = {x^2} + 2left( {m - 1} right)x + 2m - 3).

Để hàm số đồng biến trên (left( {1; + infty } right) Leftrightarrow y' ge 0,,forall x in left( {1; + infty } right))

(begin{array}{l} Leftrightarrow {x^2} + 2left( {m - 1} right)x + 2m - 3 ge 0,,forall x in left( {1; + infty } right) Leftrightarrow {x^2} + 2mleft( {x + 1} right) - 2x - 3 ge 0,,forall x in left( {1; + infty } right) Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 ge  - 2mleft( {x + 1} right),,forall x in left( {1; + infty } right)end{array})

Do (x in left( {1; + infty } right) Rightarrow x + 1 > 0 Leftrightarrow  - 2m le dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x + 1}} = fleft( x right),,forall x in left( {1; + infty } right) Leftrightarrow  - 2m le mathop {min }limits_{left[ {1; + infty } right)} fleft( x right))

Xét hàm số (fleft( x right) = dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x + 1}}) trên (left[ {1; + infty } right)) ta có:

(f'left( x right) = dfrac{{left( {2x - 2} right)left( {x + 1} right) - {x^2} + 2x + 3}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}} = dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}} = 1 > 0 Rightarrow ) Hàm số đồng biến trên (left[ {1; + infty } right))

( Rightarrow mathop {min }limits_{left[ {1; + infty } right)} fleft( x right) = fleft( 1 right) =  - 2 Leftrightarrow  - 2m le  - 2 Leftrightarrow m ge 1).

Kết hợp điều kiện đề bài (m in Z,,,m < 5 Rightarrow m in left{ {1;2;3;4} right}).

Chọn D.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.