Skip to main content
Đáp án đề thi THPT Quốc Gia 2021

Một số khái niệm phương trình đường thẳng

Một số khái niệm phương trình đường thẳng

1. Vectơ pháp tuyến và véc tơ chỉ phương của đường thẳng

 Định nghĩa: Cho đường thẳng \(\Delta \)

- Vectơ \(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của \(\Delta \) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\Delta \)

- Vectơ \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của nó song song hoặc trùng với \(\Delta \)

Nhận xét:

- Nếu \(\overrightarrow n \left( {\overrightarrow u } \right)\) là VTPT (VTCP) của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)\) hoặc \(k\overrightarrow u \) cũng là VTPT (VTCP) của \(\Delta \)

- VTPT và VTCP vuông góc với nhau: \(\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\)

- Nếu \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow u  = (a;b)\) thì \(\overrightarrow n  = ( - b;a)\) là một VTPT của \(\Delta \)

2. Phương trình tổng quát, tham số của đường thẳng

a) Phương trình tổng quát

Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}({x_0};{y_0})\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = (a;b)\). Khi đó:

\(\Delta :a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\)

Phương trình trên được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \)

- Nếu đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) thì \(\overrightarrow n  = (a;b)\) là VTPT của \(\Delta \).

- Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc \(\Delta :ax + by + c = 0 \) \(\Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} + c = 0\)

b) Phương trình tham số của đường thẳng:

Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}({x_0};{y_0})\) và \(\overrightarrow u  = (a;b)\) là VTCP. Khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.{\rm{   }}t \in R\,\,\,\left( 1 \right)\)

Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta ,t\) gọi là tham số

Nhận xét‎‎‎‎ :  Nếu \(\Delta \) có phương trình tham số là (1) thì \(A \in \Delta  \Leftrightarrow A({x_0} + at;{y_0} + bt)\)

c) Phương trình chính tắc.

Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}({x_0};{y_0})\) và \(\overrightarrow u  = (a;b)\) (với \(a \ne 0,\,\,b \ne 0\)) là vectơ chỉ phương thì phương trình \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \).

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0;\) \({\rm{ }}{d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\)

\({d_1}\) cắt ${d_2}$ khi và chỉ khi \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0\)

\({d_1}//{d_2}\)   khi và chỉ khi \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = 0\) và \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right| \ne 0\), hoặc \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = 0\) và \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{a_1}}\\{{c_2}}&{{a_2}}\end{array}} \right| \ne 0\)

\({d_1} \equiv {d_2}\) khi và chỉ khi \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{a_1}}\\{{c_2}}&{{a_2}}\end{array}} \right| = 0\)

Với trường hợp \({a_2}.{b_2}.{c_2} \ne 0\) khi đó

+ Nếu \(\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\) thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu \(\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)   thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu \(\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)   thì hai đường thẳng trùng nhau.

+ Nếu \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\) thì hai đường thẳng vuông góc.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Tổng ôn tập MÔN TOÁN Lớp 10