Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 4m (Cm) (1). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (
Câu hỏi và phương pháp giải
Nhận biếtCho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 4m (Cm) (1). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (2). Tìm tất cả các giá trị của m để (Cm) có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng: y = x
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 247
Giải chi tiết:
(1). Học sinh tự giải
(2). Xét y = x3 – 3mx2 + 4m. Trước hết: Để hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y' = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt và y' đổi dấu qua hai nghiệm đó.
Ta có: y' = 3x2 – 6mx
y’ = 0 ⇔ x = 0; x = 2m
Vậy y’ = 0 có hai nghiệm phân biejt ⇔ m ≠ 0.
Khi đó các điểm cực trị sẽ là : A(0 ; 4m) ; B(2m ; 4m – 4m3)
Để tìm m sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ta lí luận như sau :
A, B đối xứng nhau qua d : y = x ⇔ {AB ⊥ d ; Trung điểm I của AB thuộc d}
Ta có: AB ⊥ d ⇔ 
. 
= 0
Mà 
= (2m ; – 4m3);
= (1 ; 1).
Vậy 
. 
= 0 ⇒ 2m – 4m3 = 0 ⇔ 
+) Với m = 
⇒ A(0 ; 
) ; B(
; 
)
⇒ I(
; 
) ∉ d ; y = x ⇒ m = 
(loại)
+) Với m = -
⇒ A(0 ; -
); B(-
; -
)
⇒ I(-
; -
) ∉ d ⇒ m = -
(loại)
Kết luận: Không có giá trị nào của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.