Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA SB SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a SB = b SC= c. Gọi R là
Câu hỏi và phương pháp giải
Nhận biếtCho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a, SB = b, SC= c. Gọi R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Chứng minh rằng: R ≥ 
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 247
Giải chi tiết:
Tính R theo a,b,c:
Cách 1:
Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Do tam giác SAB vuông tại S và SC ⊥ (SAB) nên trục của tam giác SAB là đường thẳng đi qua trung điểm H của AB và song song với SC. Gọi K là trung điểm của SC. Do O thuộc mặt phẳng trung trực của SC nên OK ⊥ SC.
Ta có OHSK là hình chữ nhật nên: 
=>
Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là:
Cách 2. Dựng hình hộp SAMB.CDEF. Dễ thấy hình hộp vừa dựng là hình hộp chữ nhật. Gọi O là tâm của hình hộp trên. Do O cách đều các đỉnh của hình hộp nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Do đó:
Cách 3: (Phương pháp vectơ)
Đặt 
Ta có:
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Giả sử:
=> R2 = 
= x2a2 + y2b2 + z2c2(1)
Ta có: 
=> 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Chứng minh tương tự ta có: y = z = 
. Thay vào (1) ta có:
Vậy R= SO 
Chứng minh : 
Điều cần chứng minh tương đương với:
3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2
Khai triển và rút gọn ta được bất đẳng thức tương đương:
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac – 2ca ≥ 0
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0.
Bất đẳng thức (1) đúng và ta có điều phải chứng minh.
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.