Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (P

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Gọi (O = AC cap BD).

Do M thuộc mặt cầu đường kính AC ( Rightarrow widehat {AMC} = {90^0} Rightarrow MC bot MA).

Ta có (left{ begin{array}{l}BC bot AB,,left( {gt} right)BC bot SA,,left( {SA bot left( {ABCD} right)} right)end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAB} right) Rightarrow BC bot AM)

( Rightarrow AM bot left( {SBC} right) Rightarrow AM bot SB) và (AM bot SC).

Chứng minh tương tự ta có (AP bot left( {SCD} right) Rightarrow AP bot SC;,,AP bot SD).

N thuộc mặt cầu đường kính (AC Rightarrow widehat {ANC} = {90^0} Rightarrow AN bot SC).

( Rightarrow SC bot left( {AMNP} right)).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC ta có (SN = dfrac{{S{A^2}}}{{SC}} = dfrac{{S{A^2}}}{{sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = dfrac{{{a^2}}}{{sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = dfrac{a}{{sqrt 3 }}) và (dfrac{{SN}}{{SC}} = dfrac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2{a^2}}} = dfrac{1}{3}).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB ta có (dfrac{{SM}}{{SB}} = dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = dfrac{1}{2}).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAD ta có (dfrac{{SP}}{{SD}} = dfrac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = dfrac{1}{2}).

Ta có:

(begin{array}{l}dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = dfrac{{SM}}{{SB}}.dfrac{{SN}}{{SC}} = dfrac{1}{2}.dfrac{1}{3} = dfrac{1}{6} Rightarrow {V_{S.AMN}} = dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}dfrac{{{V_{S.ANP}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = dfrac{{SN}}{{SC}}.dfrac{{SP}}{{SD}} = dfrac{1}{3}.dfrac{1}{2} = dfrac{1}{6} Rightarrow {V_{S.ANP}} = dfrac{1}{6}{V_{S.ACD}} = dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} Rightarrow {V_{S.AMNP}} = {V_{S.AMN}} + {V_{S.ANP}} = dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} + dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} = dfrac{1}{6}{V_{S.ABCD}} = dfrac{1}{6}.dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = dfrac{{{a^3}}}{{18}}end{array})

Lại có ({V_{S.AMNP}} = dfrac{1}{3}SN.{S_{AMNP}} Rightarrow {S_{AMNP}} = dfrac{{3{V_{S.AMNP}}}}{{SN}} = dfrac{{3.dfrac{{{a^3}}}{{18}}}}{{dfrac{a}{{sqrt 3 }}}} = dfrac{{{a^2}sqrt 3 }}{6}).

Chọn D.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.